2019年天津高考数学（理科）答案2
17．本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识．考查用空间向量解决立体几何问题的方法．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．
依题意，可以建立以
为原点，分别以
的方向为
轴，
轴，
轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得
，
．设
，则
．
（Ⅰ）证明：依题意，
是平面
的法向量，又
，可得
，又因为直线
平面，所以
平面．
（Ⅱ）解：依题意，
．
设
为平面
的法向量，则
即
不妨令
，
可得
．因此有
．
所以，直线
与平面所成角的正弦值为
．
（Ⅲ）解：设
为平面
的法向量，则
即
不妨令
，可得
．
由题意，有
，解得
．经检验，符合题意．
所以，线段
的长为
．
依题意，可以建立以
为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，．设，则．（Ⅰ）证明：依题意，
是平面的法向量，又，可得，又因为直线平面，所以平面．（Ⅱ）解：依题意，
．设
为平面的法向量，则即不妨令，可得
．因此有．所以，直线
与平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）解：设
为平面的法向量，则即不妨令
，可得．由题意，有
，解得．经检验，符合题意．所以，线段
的长为．
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